推薦序
不用數字，數學也可以非常有趣！
洪萬生（臺灣數學史教育學會理事長）
本書作者開宗明義就說：「我們相信數學有趣、真實又有用（而且就是依這個順序）。」這個宣示是本書中數學家三大信仰的第一則，但已指出本書之旨趣！請注意喔：作者將「有趣」面向擺在首要位置，顯然意在強調即使「不用數字」，數學還是（可以說得）非常、非常有趣！
事實上，由於數學教育改革的主張都十分重視數學的「有用」面向，以便提升學生學習數學的積極動機。不過，這些有用的知識再怎麼融入「生活情境」，數學知識的獨特抽象性，還是很容易讓學習者卻步，而找不到繼續學習的動力。這或許可以說明何以在108課綱的教學脈絡中，數學遊戲（魔術）與摺紙會如此受到歡迎。這是因為這些「類遊藝」所涉及的數學知識活動，可以讓教育現場教師分享這些數學的「有趣」面向。
這一類活動所以有趣，還在於它會自然地展現數學知識所蘊含的驚奇（wonder），常常出人意表。作者貝克曼在本書中，以「無字證明」（proof without words）的方式，證明∞．∞＝∞，按最簡約易解的圖說一體，給了我們最大的驚奇。此外，他「改寫」數學大師康托爾（Georg Cantor）的「對角線證法」，僅僅使用文字（當然沒有數字！），就證明了「一條線（即使是有限長的線）上的點數一定比無窮更多」。這個定理也「啟示」我們：無窮概念可以區分等級，亦即有「無窮」（譬如1, 2, 3不停地數下去的「第一階」無窮），也有比無窮「更多」的事物（譬如直線等「連續體」〔continuum〕）存在。在這兩個例子中，論證毋須數字，過程簡約易解，然而，所推論得到的真理（truth）─在數學中，我們通稱為定理（theorem）─卻極為深刻，讓吾人感受極大的驚奇。
儘管作者強調「不用數字」，但如果讀者還記得若干中學幾何知識，那麼，他所提供的「關於圓的二三事」，就同樣地為我們展現不少「意在言外」的驚喜。試看其中第四則：「一片披薩的下半部只有這片的四分之一。」亦即，在半徑取半之後的下半部（小扇形），只有全部（大扇形）的四分之一。還有，第六則：「任意三點一定可畫出一個圓（直線也可視為半徑無限大的圓）。」面對這一則，先不管你是否還記得「外接圓」的概念，請儘管配合本書「拓樸學」內容深入想像，對於直線與圓之（敘事）連結，一定會有更深刻的感受才是。
這種有關直線與圓的思考，譬如看到它們「形狀」上的差異，通常與我們的直覺相符，也因此，中學（歐氏）幾何學就是「深化」這種吾人日常經驗的一門教育科目，以幫助我們可以更順利地適應外在的世界。不過，如果我們暫時「放縱」一下想像力，想像「直線也可視為半徑無限大的圓」這一句話究竟有沒有道理？還有，也請思考：當我們在討論形狀的「分類」時，本書作者竟然宣稱「在拓樸學中，正方形確實是圓形」，儘管他依然承認「在藝術或建築、日常生活，甚至幾何學中，正方形當然不可能是圓形。如果有一輛自行車的輪子是正方形，這輛自行車一定騎不遠。」
如果上一段這個怪異的「分類」讓你不安，那麼，就請你「暫時忘掉」你所學過的所有中學幾何，「回歸初心」─找回吾人最原初的「好奇心」，試想如果讓幼童參考現成的正方形與圓形，分別畫出正方形及圓形，你可以輕易認出哪個是哪個嗎？除非他或她事先經過訓練！對幼童來說，拓樸學的形狀意義比起歐氏幾何的形狀更加「根本」而容易掌握，這是認知心理學家皮亞傑（Jean Piaget）的傑出發現，值得我們面對「形狀」（shape）時，參考借鏡。事實上，作者在這個脈絡中，指出「項鍊用某種方式拿著就是正方形，換一種方式又變成圓形」等等，就是相當有創意的敘事比喻。
我希望上述的「驚奇」所引出來的「好奇」（intellectual curiosity），可以是閱讀本書或其他數學普及書籍「一直以來」的心態。這是因為閱讀有趣的題材而引發的學習動力，始終是數學普及閱讀所著力的心智活動之連結。譬如說吧，作者在介紹數學的抽象性時，強調「我們對世界的理解（在最基本、抽象、初步層級）是建構在對象與對象之間的關係上。」事實上，「數學世界也是一樣，我們所做的一切都可透過這個基本關係來了解。」譬如，作者在本書拓樸學單元中所指出的形狀「相同關係」，以及分析學單元中所指出的「更大關係」等等，都是對數學的抽象結構所做的起碼說明，言簡意賅，有助於一般讀者對抽象數學的基本認識。
抽象數學結構如何建立？當然有賴於形式證明（formal proof）。數學理論一旦建立起來，再透過數學建模（mathematical modeling），就可以與我們的外在世界連結，而發揮其不可思議（或者不合理）的效用（unreasonable effects）。這是物理學家威格納（Eugene Wigner）為數學知識本質（nature）所做的重要釐清，也為數學的「真實性」（truthfulness）之論述，增添了不少柴火。儘管此說不無過度簡化數學知識演化過程之嫌，然而，卻是數學「有用」的最佳見證。
當然，數學作為工具面向的「有用」之前提，乃是數學家的三大信仰之第二則：「我們相信『數學證明』這個過程。我們相信證明得來的知識既重要又有力量。」至於第三則信仰則出自基本教義派數學家，他們相信：「植物、愛、音樂以及萬事萬物，（理論上）都能用數學來解釋。」作者顯然試圖在本書的「基礎對話錄」中，提出他如何與這三則信仰對話，真心大白話，哲學立場無從掩蓋，而且也略顯生嫩。
不過，誰在乎呢？請參看他如何區別「拋物線」與「懸鏈線」：左手拋鑰匙類的小物品，再用右手接住，這個路徑是拋物線。把一條細繩掛在牆壁上兩點之間，則其曲線為懸鏈線。「電話線、沒有墜子的項鍊，以及絲絨圍欄帶等，無論什麼材質，都會形成相同的形狀（順便一提，這個形狀的方程式含有無理數e。e源自對於複利的研究，但複利與細繩懸掛的方程式完全沒有關係）。」
其實，只要看到他如此描述，我就認定他擁有相當高明的數學敘事能力，因此，我要大力推薦這本書！有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養，我尤其希望有語文閱讀自信的讀者，一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世，因為這攸關公民科學素養的必要選項。
不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！
米羅‧貝克曼（Milo Beckman）著
M Erazo 繪圖
甘錫安 譯
2022年9月10日出版
內容簡介
當數學裡沒有數字，會發生什麼事？
——沒有練習題，沒有標準答案，剩下的是發現、探索、推論，以及解謎的樂趣！
這本書除了頁碼之外，完全沒有數字，同時還有100多幅由紐約當地藝術家M手繪的插圖。作者利用文字和圖像來傳達重要的數學概念的感覺，並省去了公式和計算。
雖然沒有數字，但這本書對於數學是什麼？數學涵蓋哪些部分？最有趣的地方在哪裡？這些探索是絕不打折，而且能讓您對於數學，有更廣闊的了解。
例如，有什麼東西比「無限大」更大嗎？世界上總共有多少種形狀？現實生活中什麼時候會用得上這些？這些問題其實都有答案，但答案都不是數字。
從本書一開始，作者帶領我們進入一個奇妙的「現實平面」。在這個平面上，正方形是圓形、賽局是樹，自然世界則是電腦模擬。對於學過九九乘法之後就不再關注數學的人而言，數學真的是抽象怪異到了極點！但是，數學為什麼還那麼有用呢？
這本書寫來生動活潑，而且極富原創性，它帶領我們認識抽象數學的三大分支：拓樸學、分析和代數，把這三個領域解釋得很清晰而有趣。作者說，其實關鍵就是掌握模式。這本書一反傳統的教學方式，邀請讀者運用創意，來思考空間和維度、無限大和無限小、對稱、證明、結構，以及這些概念如何結合在一起，最後，將這些概念應用在日常生活中！
歡迎來到人類知識的最前沿，體驗數學的美麗與奧祕。
專業推薦
李政憲，新北市林口國中老師
洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
游森棚，臺灣師範大學數學系教授
【專業推薦】
我要大力推薦這本書！有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養，我尤其希望有語文閱讀自信的讀者，一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世，因為這攸關公民科學素養的必要選項。
——洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
這是一本非常特別的數學科普書！我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。
——游森棚，臺灣師範大學數學系教授
什麼？學數學可以不用數字？！作者深入淺出，以圖文介紹了許多看似難懂的數學名詞，以及這些概念與生活、遊戲與哲學等面向的連結，若你覺得不知道數學有何用處，或是有興趣想研究更多數學面向，這本書值得一讀。
——李政憲，新北市林口國中老師、藝數摺學FB社團創辦人、教育部師鐸獎得主
《不用數字的數學》以迷人的魅力、堅定的熱情和大量插圖，帶領讀者進入高等數學的花園。
——喬登．艾倫伯格（Jordan Ellenberg），威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授、《數學教你不犯錯》作者
就像在跟你聊天一樣，這是一場愉悅、迷人的數學世界之旅，還有它與現實世界的關係——而且看不到一個數字！每個人都該讀讀這本有趣的書，數學家也是。
——伊恩．史都華（Ian Stewart），英國華威大學數學教授、《改變世界的17個方程式》作者
《不用數字的數學》探討深奧的數學主題，呈現數學家的思考方式，再以十分淺顯易懂的方式傳達給讀者。謎題和遊戲更增添本書的趣味性，讀來十分愉快。
——威爾．舒爾茲（Will Shortz），《紐約時報》填字遊戲編輯
淺顯易懂地引介一般大眾不熟悉的概念，說明現代數學為何是人類思想中最迷人且最具成就感的領域。
——格拉漢．法梅洛（Graham Farmelo），《The Universe Speaks in Numbers》作者
本書文句淺顯，又有插圖輔助，讓了解複雜（而且讓人望而生畏）的數學概念變得異常容易。貝克曼輕鬆的筆調和Erazo可愛的插圖相輔相成，娓娓道來深刻又有趣的數學故事。
——喬琪亞．盧比（Giorgia Lupi）和史蒂芬妮．波薩維克（Stefanie Posavec），《Dear Data》及《Observe, Collect, Draw!》共同作者
非常可愛的一本書！數學好玩、令人驚奇又迷人，但這些特質往往被嚇人的方程式和形式主義掩蓋。米羅‧貝克曼徹底揭露數學的迷人之處，讓大家體驗。
——蕭恩．卡羅爾（Sean Carroll），加州理工學院物理教授、《Something Deeply Hidden》作者
本書完整呈現數學的有趣之處，同時避開令人生畏的技術細節。我的書架上又多了一本好書。
——謝里夫．傑克森（Shareef Jackson），STEM多樣性倡議者
【目次】
推薦序 一窺當代抽象數學的面向 游森棚
推薦序 不用數字，數學也可以非常有趣！ 洪萬生
拓樸學
形狀 流形 維度
分析
無窮 連續體 映射
代數
抽象 結構 推論
基礎
對話錄
建模
模型 自動機 科學
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