《一個數學家的嘆息》（A mathematician's Lament）前言
文／齊斯．德福林（Keith Devlin），史丹佛大學教授
2007年下半年，在我的一場演講會上，有個聽眾交給我一份25頁的打字文稿，標題是〈一個數學家的嘆息〉（A Mathematician’s Lament），說我可能會喜歡這篇文章。這篇文章是一位數學教師保羅．拉克哈特（Paul Lockhart）在2002年所寫的，從那時起，它就在數學教育的小圈子裏祕密流傳，但是從未正式發表過。這位聽眾顯然低估了我的反應──我非常地喜歡這篇文章。這位保羅．拉克哈特，不論他是何方神聖，我覺得他的文字應該有更廣大的讀者，因此，我做了一件以前從未做過，未來也可能不會再做的事：找尋這篇文章的作者──這有點難，因為文章裏沒有聯絡資訊──並且得到他的同意之後，我在「美國數學協會」（Mathematical Association of America）的網誌MAA Online（www.maa.org）我的每月專欄「德福林觀點」（Devlin’s Angle）當中，以該文的原貌轉載全文。這是能讓這篇文章在數學界及數學教育圈子曝光，我所知道最快而且最有效的方法。
2008年3月，〈一個數學家的嘆息〉在我的專欄中刊出時，介紹文我是這樣寫的：
坦白說，這是對於當前K-12（從幼稚園到十二年級）的數學教育，我所見過寫得最好的評論之一。
當時我期待會有熱烈的迴響。文章刊出後，引來的是燎原大火。保羅的文字在全世界激起了極大的共鳴。除了許多人寫email來表達讚賞之意，還有蜂擁而至的請求，要求授權轉載以及翻譯──礙於協議，我沒有刊登保羅的聯絡方式，所以很多要求是衝著我而來的。（你手上的這本書，也是因此而產生的。）
保羅所說之事，許多數學家及數學教師也曾經說過。對於數學教育理念不同，因而反對保羅觀點的人，保羅所提出的觀點也不是新鮮事。不同的是，保羅文字中的說服力以及他所流露出的強烈熱情。這不只是一篇好文章；這是偉大的作品，真正的發自內心。
毫無疑問，〈一個數學家的嘆息〉一文以及因而衍生出的這本書，都是表達意見的作品。保羅對於應該如何教授數學有很強烈的意見，而且強力辯護他所主張的教法，及反對現今學校數學教育的現狀。然而，除了他個人深具魅力的寫作風格之外，更特別的一點是，他對於艱難又備受爭議的數學教育課題，提出了看法，這是很少人能夠想得出來的。保羅的經歷比較少見，他是個成功的專業數學家，在大學裏教書，後來發現他的真正使命在K-12教育，因而投身其中，至今多年。
這本書，在我看來，和它的原稿一樣，對於每一位要從事數學教育的人、每一位學齡孩子的家長、每一位負責數學教學的學校或政府官員而言，都應該是必讀之作。你可能不是完全同意保羅的說法。你可能認為他主張的教學方法不是每位教師都能夠成功運用的。但是你應該讀一讀並想一想他的說法。這本書已經是數學教育世界裏的顯著地標，不能也不應該被忽略。在此我並不打算告訴你我認為你該做何回應。就像保羅自己也會同意的，這應該是讀者的事。但我要告訴你的是，我會愛死了保羅．拉克哈特來當我的數學老師。
一位音樂家滿身大汗地從噩夢中驚醒。夢中，他發現自己置身於一個奇特的社會，那裏的音樂教育是強迫性的。「我們是要幫助學生，讓他們在這個愈來愈多聲音的世界上，變得更有競爭力。」教育專家、學校體系以及政府，一起主導這個重要計畫。研究計畫的進行、委員會的組成、決策的形成──這些都沒有聽取任何一位現職音樂家或作曲家的意見，也沒讓他們參與。
由於音樂家通常是把他們的構思，以樂譜的形式呈現出來，想當然爾，那些奇怪的黑色豆芽菜和線條就是「音樂的語言」。所以，要讓學生們擁有某種程度的音樂能力，當然他們得要相當精通這種語言；如果一個小孩對於音符和音樂理論沒有紮實的基本功，要他唱歌或演奏樂器，將是很可笑的事。演奏或是聆聽音樂（更不要說創作樂曲），被認為是相當高深的課題，通常要等到大學或甚至研究所，才會教他們這些。
而在小學和中學階段，學校的任務就是訓練學生使用這個語言──根據一套固定的規則繞著符號打轉：「音樂課就是我們拿出五線譜紙，老師在黑板上寫下一些音符，然後我們抄寫下來，或是轉換成其他調。我們必須確定譜號和調號的正確性，而我們的老師對於四分音符是否塗滿，要求非常嚴格。有一次我在半音階（chromatic scale）的測驗題中答對了，老師卻沒給我分數，說我把音符的符幹（stems）擺錯了方向。」
以教育工作者的智慧，他們很快就發現，即使很小的孩子，也可以給予這類的音樂指導。事實上，如果一個三年級的小孩無法完全記住五度循環（circle of fifths），就會被認為是很羞愧的事。「我得給我的小孩請個音樂教師了，他就是沒法專心做他的音樂作業。他說那很無趣。他就是坐在那裏望著窗外，自己哼著曲調，編一些愚蠢的曲子。」
較高年級的學生，壓力就真的來了。畢竟，他們必須為標準化的測驗和大學入學考試做準備。學生必須修習音階和調式、拍子、和聲、對位等課程。「他們得學習一大堆東西，但是等到大學他們終於聽到這些東西，他們將會很感激在高中所作的這些努力。」當然，後來真的主修音樂的學生並不多，所以只有少數人得以聆聽到黑色豆芽菜所代表的聲音。然而，讓社會上每個人都知道什麼是轉調（modulation）、什麼是賦格（fugal passage）是很重要的，無論他們有沒有親耳聽過。「告訴你實話吧，大部分的學生就是不擅長音樂。他們覺得上課很無聊，他們的技能不佳，他們的作業寫得亂七八糟，難以辨認。而且大多數的學生，都不關心在現今世界上，音樂是多麼的重要；他們希望音樂課愈少愈好，而且能趕快上完。我猜人就只有兩種：音樂人和非音樂人。我碰到過一個小孩，她真是太優秀了！她的作業無懈可擊──每個音符都在正確的位置上，完美極了，既清楚又一致，真是美麗呀。她將來一定會成為偉大的音樂家。」
這位音樂家一身冷汗地從夢中醒來，慶幸那只是一場瘋狂的夢境。他跟自己說：「當然，沒有哪個社會會將這麼美妙又有意義的藝術形式，分解到這麼不需動腦又支離破碎；也沒有哪個文化會這麼殘酷地剝奪孩子們這種展現人類情感的自然手段。這真是荒謬呀！」
在此同時，這個城市的另一端，一位畫家也從類似的夢魘中驚醒過來……我很驚訝地發現自己置身在一間普通的教室裡──沒有畫架、沒有顏料管。「喔！我們要到高中才真正開始作畫。」學生們告訴我。「在七年級，我們大部分都是學習顏色和畫圖器具。」他們拿給我一張工作表。其中一面是一格一格的顏色樣本，每種顏色旁邊都有空格，要他們填上顏色的名稱。其中一位學生說道，「我喜歡畫畫，他們告訴我怎麼做，我就照著做，很簡單的！」
下課後，我和老師談了一下，我問道：「這樣看來，你的學生沒有真正的動手畫畫囉？」老師回答我，「嗯，下一學年他們會上『數字繪畫先修課程』，為高中主要的『數字繪畫課程』做好準備。因此，將來他們可以把在這裏所學的，應用到真實生活中的畫畫情境──刷子沾上塗料、刷塗等這類事項。當然我們會按照學生的能力為他們做規劃。真正優秀的畫家──徹底熟悉色彩及刷具的──他們可以稍微快一點進行真正的畫畫，其中有些人甚至可以去上大學學分的進階課程。但是大部分情形，我們只是嘗試給這些孩子繪畫的良好根基，因此當他們離開學校進入真實世界，為他們的廚房粉刷時，就不會弄得一團糟了。」
「嗯，你所說的那些高中課程……」
「你是說數字繪畫課嗎？我們看到修課的人數近年來增加了不少。我認為大部分是因為父母希望他們的孩子能夠進入好的大學。高中成績單上有進階數字繪畫課是很吃香的。」
「為什麼大學會在意學生能否在標明數字的區塊上塗色呢？」
「喔，你知道的，這代表學生有邏輯性思考的清楚腦袋。當然如果學生打算主修視覺科學的科系，例如時尚或是室內裝潢，那麼在高中就拿到繪畫學分，會是很好的安排。」
「原來如此。那麼學生們什麼時候開始在空白的畫布上自由作畫呢？」
「你說的話真像我的一位大學老師！他們總是說些表達自我、感情這一類的東西──完全是脫離現實的抽象東西。我自己擁有繪畫學位，但是我從未真正地在空白的畫布上作畫。我用的是學校當局提供的數字繪畫工具。」
* * *
可悲的是，我們數學教育目前的制度正好就是這樣的噩夢。事實上，如果我必須設計一套制度來「摧毀」孩子們對於「創造模式」與生俱來的好奇心，我不可能比現行制度做得更好──我就是無法想像出構成當前數學教育的這種毫無意義、壓迫心靈的方法。
大家都知道這個制度有問題。政治家說「我們需要更高的標準」；學校則說「我們需要更多經費和設備」；教育家有一套說法，而教師們又有另一套說法。他們通通都錯了。唯一了解問題所在的是那些最常被責備，但是又最被忽略的人──學生。他們說「數學課愚蠢又無趣」，他們說對了。
數學與文化
首先我們要了解，數學是一門藝術。數學和其他類型的藝術如音樂和繪畫的差別只在於，我們的文化不認同數學是一門藝術。每個人都了解，詩人、畫家、音樂家創造出藝術作品，以文字、圖像及聲音來表達自我。事實上，我們社會對創造性的表達是相當大方的，建築師、廚師、甚至電視導播都被認為是職業上的藝術家。那麼，為何數學家不是呢？
這個問題，有一部分原因出在，沒有人知道數學家到底在做些什麼。社會上的普遍認知似乎是，數學家和科學是有關連的──也許是因為數學家提供給科學家一些公式和定理，或者協助將一大堆數字輸入電腦。如果這個世界必須要分成「詩意夢想家」和「理性思考家」兩部分，毫無疑問，絕大多數人會把數學家放在後面那一類。
然而，事實上，沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意，那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心，在這一點上，數學完全一樣（在天文學家發現黑洞之前，數學家老早就有黑洞的構想了），而且數學還比詩、美術、或音樂容許更多的表達自由，後者高度倚賴這個世界的物理特質。數學是最純粹的藝術，同時也最容易受到誤解。
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