〔推薦序〕
從「測量」看數學與數學之美
游森棚/任教於國立台灣師範大學與空軍官校

  測量是人類的本能:到那棵樹有多遠?有幾頭獅子?我有多高多胖?測量也是人類的挑戰:那個池塘面積有多大?海岸線有多長?下一次的日蝕是什麼時候?


  讀者手上的這本書《這才是數學》,原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經,帶領讀者穿越時光隧道,縱覽了從古希臘時代開始,一路到微積分的數學。

  這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家,寫過幾篇相當好的學術論文,並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界,到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離,根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力,於是寫下了一份手稿「一個數學家的嘆息」(A Mathematician’s Lament),這份有名的手稿先在數學圈中流傳,而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的,也是談數學與數學教育的科普書籍。

  這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定,常常花大量的時間在打轉:或者編造數學問題的情境;或者鋪陳數學家的生平,怪癖,或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者,他只談數學:數學的發現,數學的內容,數學為何美麗。

  作者開宗明義說,數學世界只存在於心智中,點就是一個點,線就是一條完美的線,圓就是一個完美的圓,不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中,你可以盡情玩耍,觀察後發現一些現象,然後做出猜測,然後證明,這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是,一旦論證是對的,所有的發現就是斬釘截鐵,就變成絕對正確的真理:三角形的三條中線就是會交於一點,直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說,但這正是柏拉圖的思想:在理型世界中,各種關係是永恆不變的,是絕對的真理。

  作者帶領我們從簡單的形狀開始測量,線段的長度,三角形的角度和,多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積,體積,開始有代數,三角,圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡,就出現了函數,速度,微分,積分。最終停在指數與對數。

  數學的發展一日千里,當代數學百家爭鳴,不僅有抽象數學的理論高度,更有應用數學的興起,與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分,取材相當豐富,卻也是相當古典的,事實上,這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材,更足以讓我們依循著古人的發現腳步,一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋,娓娓道來,雖沒有太多人名和歷史故事,實際上卻橫跨了數學史數千年的發展,份量已經足以開一門數學史的課程了。

  我極佩服作者能夠信手拈來,用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚,用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的,以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說:怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半;怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方;為什麼圓,橢圓,拋物線,雙曲線在射影之下是同一件事;微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮,我自己都眼睛一亮。

  作者堅持只談數學本身,這也是不少數學家面對數學教育的堅持,輔助的教學方法不能反客為主。此外,正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言:要能欣賞數學,也需要理解數學的語言,否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」,才能體會由發現到證明的數學之美,於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些,對於讀者都是不小的挑戰。

  但無論如何,作者努力向我們傳達他的信念:數學是來自於觀察,發現,證明的心智活動,它的的美麗來自自身,來自過程中滿溢的想像與創造,以及對簡單真理的渴望。

  數學是科學的根本,牽涉到邏輯思考,抽象力,想像力,觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上,教師常常急著呈現結果,而忘了帶領學生探索概念的形成,以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題,完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力,以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版,能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。

QD1005

 

 

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