推薦序
質數的神祕音樂
游森棚（臺灣師範大學數學系教授）
質數是只能被 1 和自己整除的正整數，2、3、5、7、11、13、17、19……這是小學就學過的數學概念。質數之所以重要，是因為它像化學中的元素一樣：每一個正整數都能寫成質數的相乘，而且只有唯一一種方法，比如60 = 2 × 2 × 3 × 5。
關於質數的奇妙性質可以說上三天三夜，比如質數有無限多個，很難預測下一個質數在哪裡，兩個相鄰質數之間差距可以任意大，但是只差2的質數又似乎有無限多對，目前找到的最大質數是2024年找到的2^(136279841)-1……
但這本書不是在講這些常見的性質。這是一本格局宏大的書，介紹質數在數學世界中引出的巨大的、仍然困擾著代代數學家的謎題。全書的中心是數學的聖杯：黎曼假設。作者用歷史、人物、故事和應用，一章一章帶讀者接近這個問題。從質數、黎曼假設、每個數學家的耕耘、大歷史、電腦、密碼學，一直到量子混沌與最後可能的證明方向。
本書首章從1997年邦比耶里（Bombieri）寫給數學圈的關於黎曼假設已被證明的愚人節信件開始，帶到克雷數學研究所對黎曼假設的百萬美元懸賞。第二章介紹質數。作者從歐幾里得、埃拉托斯特尼、費馬、歐拉，一路寫到高斯的重要貢獻：雖然質數在哪裡難以預測，但問某個數以內有多少質數竟然會有規律！
第三章帶出了歐拉和黎曼的關鍵觀察：藉由將zeta函數放到複數平面中觀察，數論問題化為分析學中的問題。第四章就是我們的聖杯「黎曼假設」：這個猜想只有一句話：「zeta函數的非平凡的零點都落在一條特定直線上。」這表示質數有非常深層的結構，但是，迄今為止沒有人能證明這個猜想。
接著的三章介紹多位大數學家阿達瑪、哈代、李托伍德、拉馬努金在黎曼猜想的貢獻。然後時間進入兩次大戰，納粹上台，大批學者被迫離開德國，數學重心逐漸移向美國。
於是我們進入電腦時代。書中介紹圖靈機、希爾伯特判定問題、哥德爾不完備性，以及什麼問題可以被計算或判定。電腦，可以幫助數學家尋找證明到什麼程度？
而質數又有什麼用？RSA密碼系統利用了一個簡單而深刻的事實：兩個大質數相乘容易，把乘積分解回去卻很困難。這成為網路交易安全的基礎。讀者從此可以理解質數為什麼不只是數學家的玩具，因為研究質數，和現代商務與網路安全也息息相關。
末兩章進入更前沿的領域：黎曼零點的統計行為，竟然與量子物理中的能階分布相似。因此質數的行為可能和隨機矩陣、量子混沌等現代物理語言相連，需要幾何、分析與物理的更深融合。
這不是一本教人計算質數或介紹質數基本性質的初等讀物，而是一本讓讀者體會質數如何牽動數學發展的書。讀者不必懂所有細節，也可以感受到：在那些看似單純的質數背後，有一條深邃、嚴肅而美麗的數學道路。
AI在近年有革命性的發展，身為數學家，我熱切期待著在有生之年可以親眼看到，黎曼猜想這個遙不可及的星星可以被抓住！
質數的音樂：數學史上最大謎題的追尋之旅（20週年紀念版）
The Music of the Primes, 20th Anniversary edition: Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters
馬庫斯‧杜‧索托伊（Marcus du Sautoy）著
畢馨云、甘錫安 譯
2026年6月4日出版
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