漫談數學問題
何謂數學問題？對數學家而言，問題就是一種試探──去檢驗數學實在，看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」，看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角，可能是幾何形狀的排列方式，或是數字模式之類的，想要進一步了解它背後的運作，於是我們戳它一下──只不過沒用手或是棍子，而是運用心智。
舉例來說，假設你在畫三角形，在這些三角形上進行各種實驗，譬如切割成小三角形，結果偶然發現了一件事：
你把各邊中點和它的對角連起來時，三條連線（中線）似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形，發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團！但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼，是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率，三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎，再放在顯微鏡下看，但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚，卻不會因此而更了解三角形。
真正的謎團，是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形，而我們想問的問題是：在數學實在中，這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。（在整本書我會一直強調這種區別，可能會到讓你嫌囉唆的地步。）我們該如何解決這樣的問題？對於這樣的假想物件，有任何已知的知識嗎？是哪種形式的知識？
在繼續檢視這些提問之前，我們先花點時間，欣賞一下這道問題，領略何謂「數學實在」的本質。
我們撞見了一個密謀，顯然暗中有某種（未知的）結構上的運作，使這種情況發生。我認為這很了不起，但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事，是我們所不知道的？想到有這麼多漂亮而深奧的真理，等著我們去發現並融會貫通，有時還真讓我有點忐忑不安。
這個謎團究竟是什麼？我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做？假如你是隨便把三根棍子丟到地上，棍子通常不會交疊在某一點，而是兩兩交叉，中間形成一個小三角形，不是嗎？
我們所尋找的是一種解釋。當然，倘若這現象根本不真確，我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願，或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」，所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了，被鉛筆屑擋住，我們看不到罷了。但另一方面，它當然也有可能為真；它具備了數學家會去尋找的很多元素：自然性、優雅、簡單，以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的，但問題同樣是：為什麼？
現在，學問來了。為了做出解釋，我們得創造某樣東西──要以某種方式建構一套論證或推理，可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是，若只是畫或做出一堆實體三角形，然後看它對不對，這樣是不夠的。這並不是在解釋，反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問，是個更為嚴肅的哲學問題。
如果不知道為什麼三中線交於一點，又怎麼知道它們真的相交呢？「數學實在」不像實體世界，沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域？重點是，什麼是真確的，其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。
我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材，來輔助直覺和想像。我們只需明白，這些東西並不是討論的主體，並不能告訴我們數學實在的真相。
所以，現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理，現在需要證明它。這就是數學家的工作，我希望你也樂在其中。
這件事做起來非常困難嗎？是很困難。有沒有撇步或方法可依循？並沒有。這是不折不扣的抽象藝術。藝術始終是一場奮戰。沒有什麼系統化的方法，可幫助你創作出充滿美感和意義的繪畫或雕塑作品，也沒有哪個方法可以讓你做出具備美感和意義的數學論證。很抱歉。數學是最難的藝術，這也是我喜愛它的原因之一。
所以對不起，我不能告訴你怎麼做，而且我不打算陪著你，或是在書末附上一堆提示或詳解。如果你打心底想畫一幅畫，畫布的背面也不會有畫帖讓你照著畫。假如你題目做到一半卡住了，苦思不得其解，那就歡迎你加入我們的行列。數學家也都不知道怎麼解自己的題目。如果能解開，就不叫做問題了！我們始終在未知的邊緣奮戰，我們總是陷入苦思，直到有所突破。我也希望你有很多突破，這感覺很棒。但是，做數學並沒有什麼特別的撇步，你必須多思考，希望靈感找上門。
不過我不會把你送進叢林之後就撒手不管。你必須帶著智慧和好奇心，這些都是你賴以求生的裝備，而我也許可以提供幾點普通的建議，替你指引方向。
我的第一個建議是：你自己訂的題目就是最好的題目。你是勇敢的心智探險家；這是你的腦袋和冒險。「數學實在」是你自己腦袋裡的產物，你想去探索就可以去。你的問題是什麼？目標在哪裡？我是很喜歡出題讓你思考，但這些僅只是拋磚引玉，讓你可以繼續自己栽種出叢林來。別怕解不開自己訂的題目──數學家經常如此。另外，盡量讓自己同時思考五或六個問題。假如你的頭反覆撞同一面牆，你會非常沮喪。（有五、六面牆輪流讓你撞，情況就好多了！）說正經的，一個問題做一段時間然後休息一下，總是有幫助的。
還有一個重要的建議是：互相幫忙。如果你有朋友也想要做數學，你們可以一起討論，分享當中的快樂和挫折，就像一起玩音樂一樣。有時候，我會耗六到八個小時與朋友研究一個題目，即使只有一丁點進展，我們還是會因為有另一個傻瓜作伴而感到很開心。
所以，難就難吧。盡量不要氣餒或是把失敗看得太嚴重。不只你無法理解數學實在，我們所有的人都跟你一樣。別擔心自己經驗不足或是「不夠格」。數學家的特質並不是學術技能或淵博知識，而是永不滿足的好奇心，以及對簡單之美的渴望。做自己，去你想去的地方。與其裹足不前、害怕挫折或是困惑，不如試著擁抱這份恐懼和神祕感，開開心心大玩特玩一番。是沒錯，你的想法會行不通，你的直覺會出錯，歡迎你加入我們的行列！我一天會有十幾個不成熟的想法，其他的數學家也都跟我一樣。
好了，我知道你在想什麼：什麼美啦、藝術啦、創作過程必經的痛苦，說得如此浪漫動聽，但到底我該怎麼做？我這輩子還沒有做過半個數學論證，你就不能多給我一點提示嗎？
讓我們回到剛才的三角形和三中線。該如何堆砌出一個論證？我們可以先看對稱三角形的情形。
這種三角形也稱為等邊三角形。好了，我知道這個做法不太尋常，但整個概念是，如果能想辦法解釋這種特殊三角形的三條中線為什麼會相交，也許就會得到一點線索，知道怎麼處理一般三角形的情形。但也可能得不到線索，你永遠不會知道，只能花時間跟它磨──我們數學家喜歡稱之為「做研究」。
無論如何，我們總要有個起點，而等邊三角形的特例至少比較容易。這個特殊情形裡有非常多對稱性。不要小看對稱性！在許多方面，對稱是最強大的數學工具。（請把它放進你的求生背包裡。）
在這裡，對稱性會告訴我們：發生在三角形其中一側的任何事情，一定也會發生在另一側。換一種說法就是：如果我們沿著對稱線翻轉三角形，翻轉後的結果看起來和原來的三角形一模一樣。
尤其是，兩個邊的中點會交換位置，而相對應的兩條中線也會互換。
不過，這就表示這兩條中線的交點不可能落在對稱線的任一側，否則這個交點在翻轉之後會跑到另一側，而讓我們看出來三角形被翻轉了！
因此，交點必定落在對稱線上，而對稱線顯然就是這個三角形的第三條中線（連接頂角與底邊中點），所以三中線交於一點。這個解釋很不錯吧？
以上就是一個數學論證，或稱為證明。數學證明就像在說故事。題目裡的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事；在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又龐雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感及邏輯。
這讓我想到另一個建議：修潤你的證明。有了一個解釋，並不代表它是最好的解釋。可以刪掉什麼不必要的雜念或複雜度嗎？能不能找到完全不同的切入點，給你更深入的了解？多做幾次證明。畫家、雕塑家和詩人都在做同樣的事情。
比方說，我們剛才的證明雖然邏輯清楚、簡單明瞭，但稍嫌武斷。儘管我們主要運用到對稱性，但整個證明有那麼一點不對稱（至少對我來說這有點討厭）。說得具體些，論證只挑了其中一角，並以相應的中線為對稱線。倒不是這個做法非常不好，而是我們用的三角形太對稱了；我們不該做這麼隨心所欲的選擇。
譬如我們也可以想到，這個三角形除了具有翻轉對稱性，也有旋轉對稱。意思就是，如果我們把它旋轉三分之一圈，看起來會和原來完全一樣。這表示我們的三角形必定有一個中心。
現在，如果我們沿著任意一條對稱線（不特別偏好哪一條）旋轉三角形，三角形不會改變，所以它的中心必定留在原處不動。意思是，這個中心點落在三條對稱線上，因此三中線相交於一點！
好了，我並不是要告訴你，第二種論證多好甚至多麼不同。（事實上，還有很多其他的證明方法。）我想說的是，藉由不止一種方法，能夠對問題有更深一層的理解和認識。尤其是，第二個論證不僅告訴我三中線相交，還告訴我相交在哪裡──即旋轉中心。這把我帶向另一個問題：旋轉中心的位置在哪裡？更確切的問法是，一個等邊三角形的中心在多高的位置上？
在整本書裡，類似的問題會不斷出現。要成為數學家，多少就是在學習丟出這樣的提問，用你的棍子四處試探，尋找尚待發現的真理。我所想到的題目和問題，會以粗體字標示。你可以想一想，如果想解，就做做看。我也希望你自己出題。以下就是給你的第一道題目：
等邊三角形的中心在哪裡？
現在回到原來的問題，我們發現幾乎沒有任何進展。雖然解釋了為什麼等邊三角形的三中線會相交，但是我們的論證太依賴對稱性，很難看出這對於一般的情形有何幫助。其實我覺得，如果換成等腰三角形，我們的第一個論證仍然有效：
原因是，這種三角形仍然有一條對稱線。這叫做一般化（generalization）──讓一個問題或論證在更廣泛的情況下也說得通。不過，對於一般的非對稱三角形，上面兩種論證顯然行不通。
現在這種處境，數學家都很熟悉──我們卡住了。我們需要新的想法，最好不要這麼仰賴對稱性。那麼就從頭開始吧。
我們有一個三角形、各邊的中點，以及連接各頂點與對邊中點的中線。對於這些元素，還可以做些什麼事呢？
這裡有個提議。如果把中點連起來呢？會發生什麼有趣的事情？既然身為數學家，你就必須做一件事：進行嘗試。這樣行得通嗎？會產生有用的資訊嗎？通常不會。但總不能光坐在那裡，盯著幾何圖形或數字吧。要設法嘗試各種可能。做的數學越多，你的直覺和本能會更敏銳，想法會更成熟。怎麼知道該試哪些想法？沒辦法知道，只能猜測。經驗豐富的數學家對於結構十分敏感，所以猜對的機會較大，但我們一樣得猜。所以，就大膽猜吧。
最重要的是不要害怕。好了，假設你試過某個瘋狂的想法，結果行不通。在這方面你一點也不孤單！阿基米德、高斯、你和我，我們全都在「數學實在」摸索前進，試圖理解這個世界裡的現象，做出猜測，嘗試各種想法，而且多半失敗。然後，你偶爾成功了。（如果你是阿基米德或高斯，成功的次數也許更頻繁些。）解開一個千古之謎所帶來的感覺，會讓你重返叢林，再探一次險。
好，想像你已經做過各種嘗試，有一天你突發奇想，何不把中點連起來。
看到了沒？好，我們把原來的三角形分割成四個小三角形了。若是對稱三角形，四個小三角形顯然全等。那麼對於一般的三角形呢？
這四個小三角形長相都一樣嗎？事實上，其中三個看上去就像原來三角形的縮小版（縮小了一半）。果真如此嗎？中間那個小三角形呢？它可不可能也長得一樣，只是旋轉了一百八十度？我們無意間發現了什麼結果？
我們碰巧遇上了一點點真理、模式和美，如此而已。這也許會導向某個意想不到、可能與原始問題無關的結果。就由它去吧。三中線的問題並不神聖，和其他問題沒什麼兩樣。如果思緒把你帶到另一個問題，那很好啊！這下你就有兩個題目可以想了。我的建議是：保持靈活，不要先入為主。讓問題帶著你走。如果在叢林裡無意間遇到一條河，就順著河往前走！
這四個小三角形全等嗎？
不妨假設它們全等。而且附帶一提，你當然可以這樣做。數學家總是先做假設，再看看會發生什麼情況（古希臘人甚至創了一個詞來形容它──稱為分析，analysis）。幾千年來我們人類發現了許許多多看似事實的數學陳述，並且相信是事實，但至今仍然無法證明。這些陳述稱為猜想（conjecture）──也就是關於數學實在的一段陳述，你相信是真確的（通常也舉出一些例子來佐證，所以它是個合理的猜測）。我希望你除了一邊讀這本書、一邊做數學，也會發現自己隨時在提出猜想。也許你還會證明出自己所提的一些猜想，那就可以改稱為定理（theorem）。
假定我們的猜想是對的，四個小三角形的確全等（這當然也需要做個證明），接下來的問題是，這對於解決原來的題目有沒有幫助？也許有，也許沒有，得看你接著有什麼發現。
本質上說，做數學就是在玩耍、觀察和發現、建構例子（以及反例）、提出猜想，然後證明──這也是最困難的部分。我希望你漸漸發覺這個過程很好玩，充滿挑戰，而且獲益良多。
好啦，這個三角形三中線相交的問題，就留給你慢慢想。
我的下一個建議是：自我評價。讓你的論證接受自己和他人的嚴苛批評。所有的藝術家都要經歷這個階段，尤其是數學家。正如我說過的，一個數學論證要能合格，必須禁得起兩種非常不同的審核標準：它既得是一個理性的論證，必須具備正確的邏輯和說服力，同時它也必須是巧妙的，具啟示性，能提供情感上的滿足。對不起，這種標準十分苛刻，但這門藝術的本質就是如此。
你會說，美學判斷顯然因人而異，而且可能隨時空環境改變。的確，這種事在數學上也發生過，就像其他的人類活動一樣。一千年甚至一百年前視為漂亮的論證，今天來看說不定覺得拙劣、不優雅。（例如很多古典希臘數學，在我的現代眼光看來就顯得相當可怕。）
我的建議是，不要老想給自己超高的審美標準。如果你喜歡自己的證明（大多數人都會為自己辛苦的創作感到相當自豪），這樣很好。如果你有某些地方不怎麼滿意（大多數人也都如此），你就還有可努力的空間。經驗越多，品味也會提升，而可能開始覺得先前所做的論證不夠好。照理說就該如此。
我認為這也同樣適用於邏輯有效性。做的數學越多，你會變得更聰明。你的邏輯推理會更嚴謹，而且會開始發展出數學「嗅覺」。你將學會心存懷疑，去察覺是不是有一些重要的細節被掩蓋住。一切順其自然吧。
不可否認，還是有某些惹人厭的數學家，完全無法容忍錯誤。我不屬於這類型。我是放任派的──偉大的藝術就是這樣產生的。因此，你剛開始寫出來的數學論證很可能是邏輯上的大災難。你可能相信事實就是如此，但其實不是。你的推理可能會漏洞百出。你會直接跳到結論。那好，就放膽做和跳吧。你必須討好的人只有你自己。相信我，你會在自己的推導過程中發現很多錯誤。可能你早上還自認是天才，到了中午就發現自己是白痴。我們全都做過這種蠢事。
問題的部分原因是，我們太在意是不是簡單、漂亮，因而一有漂亮的想法，就很想相信它是對的。又因為一心希望它為真，難免沒有再仔細檢視。這是「氮醉」的數學版。潛水的人看著眼前的奇景，會忘了回到海面調整呼吸。這麼說吧，邏輯是我們的空氣，審慎的推理是我們的呼吸方法。因此，不要忘記呼吸！
你和數學家之間的真正差別在於，數學家非常清楚在哪些情況下會自我蒙蔽，因此我們心存更多的疑慮，在邏輯嚴謹程度方面會堅守更高的標準。我們學會扮演魔鬼代言人。
每當我研究一個猜想，我總會樂於假設它可能是錯的，有時候我努力證明，其他時候則試著推翻，來證明自己錯了。偶爾我會發現一個反例，代表我確實被誤導了，需要再琢磨，或可能該捨棄這個猜想。不過有的時候，我試圖建構一個反例，卻不斷遇到同一個障礙，後來這個障礙竟成為最後做出證明的關鍵。重點是要保持開放的心態，不要讓自己的期望干擾你對真理的追求。
當然，儘管數學家對於邏輯清楚的要求可能相當挑剔，但從自己的經驗我們也會「嗅到」一個證明是不是有希望，如果願意的話，我們顯然可以補充必要的細節。數學是一種人類活動，而人類會犯錯，這是不爭的事實。大數學家都曾做出毫無意義的「證明」，你也免不了。（這也是與他人合作的好理由──他們可以針對你的疏忽之處提出反駁。）
重要的是踏進數學實在，做出一些新發現，樂在其中。對邏輯嚴謹度的渴望會隨著經驗增長，不用擔心。
那麼就出發吧，做出你的數學藝術品。用自己的理性和審美標準來評斷。你覺得滿意嗎？那太棒了！你是個陷入瓶頸的藝術家？那更好。歡迎來到叢林！
這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅
Measurement
保羅‧拉克哈特（Paul Lockhart）著
畢馨云 譯
2015年3月12日出版
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