大破大立──難得一見的數學教育好書

洪萬生/台灣師大數學系退休教授

  這本書《一個數學家的嘆息》應該是我所見過的數學教育宣言中最基進的(radical)一篇了。作者保羅.拉克哈特(Paul Lockhart)是一位成功的專業數學家,公元2000年,他毅然轉入紐約市一所涵蓋K-12年級的中小學任教,身體力行他認為有意義的數學教學活動。本書即是他的現身說法,因此,他對於美國目前中小學數學教育的現實之沉重但真誠的嘆息,似乎沒有幾個有識之士敢視而不見。

  事實上,本書(分上、下兩篇)所呈現的願景,乃是中小學數學教育的一種烏托邦。通常我們面對烏托邦,似乎總是看看就好,大可不必認真。然而,我仔細閱讀(英文原文⊕中譯文)之後,對於邀約寫序,多少有些猶豫與掙扎。對照我自己的數學經驗,我將如何推薦本書呢?我自己曾在台灣師大數學系任教將近四十年,主要授課如數學史都涉及未來與現職的中學教師之專業發展,而且也曾指導過幾十位在職教師班的碩士生,所以,我對於(台灣)數學教育現實的興革,當然也有相當清晰的理想與願景。不過,經歷過那麼多的數學教育改革爭議之後,我覺得務實地訓練與提升教師的數學素養,恐怕是最值得把握的一條可行進路。

  話說回來,作者的願景所引伸出來的策略,也並非完全不可行!譬如說吧,在本書結束時,作者語重心長地鼓勵老師「需要在數學實在中悠遊。你的教學應該是從你自己在叢林中的體驗很自然地湧出,而不是出自那些在緊閉窗戶車廂中的假遊客觀點。」因此,「需要在數學實在中悠遊。你的教學應該是從你自己在叢林中的體驗很自然地湧出,而不是出自那些在緊閉窗戶車廂中的假遊客觀點。」因此,「丟掉那些愚蠢的課程大綱和教科書吧!」因為「如果你沒有興趣探索你自己個人的想像宇宙,沒有興趣去發現和嘗試了解你的發現,那麼你幹嘛稱自己為數學教師?

  對許多數學教師來說,要是丟掉課程大綱與教科書,大概會有一起丟掉洗澡水與嬰兒的制式(conventional)焦慮感,儘管有一些教師平常教學時,根本不太理會課程大綱與教科書內容,而只是使用自己或同仁共同編輯的講義。然而,不管你是否贊同拉克哈特的主張,也不管他的主張是否能夠付諸實現,本書是老師、家長與學生都不容錯過的金玉良言,值得我們咀嚼再三。底下,我要稍加說明我大力推薦本書的三個理由。

  本書上篇主題是「悲歌」,依序有〈數學與文化〉、〈學校裏的數學〉、〈數學課程〉、〈中學幾何:邪惡的工具〉以及〈「標準」數學課程〉等五節。下篇主題是「鼓舞」,但不分節論述。上篇文字曾由齊斯.德福林(Keith Devlin)安排,在MAA線上(MAA Online)每月專欄「德福林觀點」全文披露(20083月),獲得大大超乎預期的迴響。在上篇一開始,作者拉克哈特利用虛構的音樂與繪畫之學習夢境,說明相關語言或工具的吹毛求疵,讓這些藝術課程之學習,變得既愚蠢又無趣,最終摧毀了孩子們對於創作模式那種天生的好奇心。或許上述夢魘並非真實,但是,「類比」到數學教育現場,卻是千真萬確。而拉克哈特的立論,是一般人容易忽略的數學知識活動特性:數學是一門藝術!至於它和音樂和繪畫的差別,只在於我們的文化並不認同它是一門藝術。拉克哈特進一步指出:

 事實上,沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意,那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心,在這一點上,數學完全一樣(在天文學發現黑洞之前,數學家老早就有黑洞的構想了),而且數學比詩、美術、或音樂容許更多的表現自由,後者高度依賴這個世界的物理性質。數學是最純粹的藝術,同時也最容易受到誤解。

   這種主張呼應了英國數學家哈帝(G. H. Hardy)之觀點:數學家是理念模式(patterns of ideas)的創造者。在他的《一個數學家的辯白》(A Mathematician’s Apology)中,哈帝藉此宣揚他的柏拉圖主義(Platonism)。不過,拉克哈特卻將柏拉圖的理念(ideas)拉回到人類玩遊戲的層次:「我純粹就是在玩。這就是數學──想知道、遊戲、用自己的想像力來娛樂自己。」事實上,在遊戲的情境中,人們會基於天生的好奇,而開始探索。而這無非是人類學習活動的最重要本質所在。反過來,如果數學學習只是要求學生死背公式,然後在「習題」中反覆「套用」,那麼,「興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折,全都消磨殆盡了。再也沒有困難了。問題在提出來時也同時被解答了──學生沒事可做。」對於這種強調精準卻無靈魂地操弄符號的文化及其價值觀,拉克哈特利用簡單例證戳破它的虛幻,這是我大力推薦本書的第一個理由。

  在〈學校裏的數學〉這一節中,拉克哈特指出教改迷思,在於它企圖「要讓數學變有趣」,以及「與孩子們的生活產生關連」。針對這兩點,他的批判非常犀利:「你不需要讓數學有趣──它本來就遠超過你了解的有趣!而它的驕傲就在與我們的生活完全無關。這就是為什麼它是如此有趣!」顯然為了達到「有趣」與「關連」的目的,教科書的編寫難免「牽強而做作」。譬如,為了幫助學生記憶圓面積和圓周公式,拉克哈特認為:與其發明一套圓周先生(Mr. C)和面積太太(Mrs. A)的故事,不如敘說阿基米德甚至劉徽有關圓周率的探索史實,說不定更能觸動學生的好奇心靈。這種強調發生認識論(genetic epistemology)的歷史關懷,也與他批判數學課程的缺乏歷史感互相呼應。

  拉克哈特對於數學課程的僵化之批判,還擴及它所連結的「階梯迷思」,他認為這種一個主題接一個主題的進階安排,除了淘汰「失敗的」學生之外,根本沒有(其他)目標可言。因此,學校裏的數學教育所依循的,「是一套沒有歷史觀點、沒有主題連貫性的數學課程,支離破碎地收集了分類的主題和技巧,依解題程序的難易度湊合在一起」。相反地,「數學結構,不論是否具有實用性,都是在問題背景之內發明及發展出來的,然後從那個背景衍生出它們的意義」。

  或許有人說,中學的幾何課程可以滿足此一智性需求,不過,拉克哈特卻將它稱為「邪惡的工具」。作者在〈中學幾何:邪惡的工具〉這節中,指出數學證明的意義在於「說明,而且應該說明得清楚、巧妙且直截了當」,同時,只有當你想像的物件之行為違反了直覺,或者有矛盾出現時,嚴謹的證明才有其必要,而這當然也符合歷史真實。基於此,他嚴厲批判「兩欄式證明」(two-column proof)既沉悶又「沒有靈魂」,學生只是被訓練去模仿,而不是去想出論證!

  在作者深刻批判學校數學、課程綱要以及幾何證明之後,他還揭露了一個目前通行的「標準數學課程」之真相,這個戳破學校數學(school mathematics)神話的深刻反思,是我大力推薦本書的第二個理由。

  在上篇解構性的「大破」之後,拉克哈特在本書下篇當中,為我們貢獻了令人鼓舞的「大立」,這是我大力推薦本書的第三個理由。在本篇中,拉克哈特想像了一個數學實在(mathematical reality),其中「充滿了我們為了娛樂自己而建構出來(或是偶然發現)的有趣又可愛的架構。我們觀察它們、留意它們的模式、嘗試做出簡潔又令人信服的敘述,來解釋它們的行為」。至於如何做數學?拉克哈特利用實例演示,啟發我們「與模式遊戲、注意觀察事物、做出猜測、尋找正反例、被激發去發明和探索、製作出論證並分析論證,然後提出新的問題」。此外,他還特別提醒:小孩子都知道學習和遊戲是同一回事。可惜,成年人已然忘卻。因此,他最後給讀者的實用忠告是:玩遊戲就對了!做數學不需要證照。數學實在是你的,往後的人生你都可以悠遊其中。

  總之,本書作者分享了他自己基於好奇,探索數學知識活動被忽略面向的深刻體會,其中他認為數學如同音樂、繪畫及詩歌一樣,也是一門藝術。同時,學習與遊戲是同一回事。因此,在遊戲的情境中,基於人類天生的好奇心而探索模式,才是學習數學的正道。這也部分解釋了何以他那麼重視數學史的殷鑑,因為數學都是從歷史脈絡(context)產生,並因而獲得意義。

  對於教師或甚至家長來說,如果你覺得本書的主張太過基進,不妨參考作者的玩數學比喻,那麼,你對數學學習一定會有全新的體會。根據寵物書籍的說明,離開幼兒階段還喜歡遊戲的物種,只有成年人和成犬而已。人類幼童利用遊戲來學習包括數學在內的各種事物。如今,我們身為成年人,甚至有幸帶領小孩子學習,為什麼不可以繼續玩下去呢?

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